Calculating the magnetic field

문제)

 

An electric field of 300 V/m is confined to a circular area d = 10.0 cm in diameter and directed outward perpendicular to the plane.

If the field is increasing at a rate of 20.0 V/m·s, r = 15.0cm

 

(a) Calculate the direction of the magnetic field at point P.

(b) Calculate the magnitude of the magnetic field at the point P.

 

풀이)

|E| = 300 V/m, d = 10.0 cm = 0.100 m, r = 15.0 cm = 0.150 m

Electric field가 시간 t가 경과함에 따라, 매 초 20.0 V/m·s 증가하므로, 이를 이용해 electric field를 다시 나타내보면 다음과 같다.

 

E = 20.0t + 300 (V/m)

 

(a)

Point P에서 magnetic field는, 전기장의 변화를 방해하는 방향으로 형성된다.

Lenz's Law에 의하면 전기장이 증가할 때 유도 자기장은 전기장을 억제하려는 방향으로 형성된다.

(https://thpop.tistory.com/60 / 렌츠의 법칙)

 

전기장이 페이지 밖으로 향하고 증가하므로, 유도 자기장은 페이지 안으로 향해야 전기선속의 증가를 막을 수 있다. 
자기장이 페이지 안으로 향하려면, 유도 전류는 시계 방향으로 흐르도록 생성되어야 하고, 이에 따라 Point P에서는 페이지 바깥(out of page) 방향으로 향하게 된다.



(b)
앙페르 법칙( Ampère’s law )에 의하면, 
∫ B · ds= μ0 × I이다.

맥스웰은 displacement current(I_d)를 다음과 같이 정의했다.
I_d = ε0 × dΦ / dt

 

Φ = ∫ E · dA로 정의되므로, 

I_d = ε0 × d(∫ E · dA) / dt = ε0 × A × dE / dt

 

또한 비오-사바르 법칙(Biot–Savart law)에 의하면 자기장은 다음과 같이 표현된다.

B = μ0 × I / 2πr

 

따라서 이를 이용해 최종적으로 정리해보면, 아래와 같은 식을 도출할 수 있다.

이를 이용하여 자기장의 크기를 구한다.

 

B = (4π × 10^-7 Tm / A × 8.85 ×10^-12 C^2/Nm^2 × 0.01 × π m^2 × 20.0) / (2π × 0.150 m^2 × 4)

 = 1.85 × 10^-18 T