공대생의 공부공간

이중적분, 혹은 삼중적분 같은 다중적분을 수행할 때, dA, dV, dS같은 다양한 종류의 좌표계로 변환을 하는 경우가 생긴다.원하는 차원의 좌표계로 변환할 때 보정해주기 위해서 곱해주는 것이 바로 야코비안 행렬(Jacobian matrix)이다. 야코비안 행렬(Jacobian matrix)의 형태는 아래와 같다. 예시를 통해 살펴보자.앞서 극좌표에서 이중적분의 수행을 알아본 적이 있다.(https://thpop.tistory.com/33 / 극좌표에서의 이중적분) dA => dydx => r drdθ과 같이 변환하는 과정을 거쳤다. 여기서 나오는 r이 바로 야코비안 행렬의 계산 결과이다. 극좌표로 전환할 때, x = r cosθ, y = r sinθ로 변환하는데, 이는 곧 (x,y) → (r, θ)로 ..

삼중적분은 이중적분이 이중 리만합의 극한으로 정의되었듯이, 마찬가지로 삼중 리만합의 극한으로 정의된다. 평면기하학에서 극좌표계를 이용하여 특정 곡선과 영역을 더 쉽게 설명할 수 있었듯이, 삼차원 공간에서도 어떤 곡면과 입체를 보다 편리하게 설명해주는 좌표계가 있는데, 이를 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)라고 부른다. 이에 대해서 알아보자.  원기둥좌표계는 (r,θ,z)로 표현된다. 삼차원 공간에 한 점 P가 있다고 하자. 그러면 r과 θ는 xy평면에 대한 P의 사영의 극좌표이고, z는 xy평면에서 P까지의 방향이 주어진 거리이다. 즉 직교좌표계를 원기둥좌표로 변환시키려면 아래의 요소들을 이용하여 변환시킨다. 이제 원기둥좌표계에서 삼중적분을 하는 방법을 알아보자. 원기둥..

앞서 이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하는 방법을 알아보았다.(https://thpop.tistory.com/68 / 이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하기 ··· (1)) 보다 편한 계산을 위해 벡터의 개념을 이용해보자. 점 P를 시작점으로 하고, △T를 갖는 평행사변형의 두 변을 따라 놓인 벡터를 각각 a,b라고 하자. 그러면 △T = | a × b |이다. 그러면 계산은 아래와 같다. 이를 이용하여 앞서 작성했던 아래 식에 대입해보자.그러면 다음과 같은 식의 형태로 유도할 수 있다.결론적으로 위와 같은 일반형을 유도해낼 수 있다.

f(x)가 연속인 편도함수를 갖는 함수일 때, z = f(x,y)로 표현되는 곡면을 S라고 하자. 이해를 돕기 위해 f(x,y) ≥ 0이고, f의 정의역 D를 정사각형이라고 가정하자. 앞서 이중적분에 대해 다루었던 부분에서 사용한 방법처럼, D를 작은 직사각형으로 분할하면 그 작은 직사각형의 넓이는 △A = △x △y로 나타낼 수 있다. 작은 직사각형의 한 꼭짓점 중에서 가장 원점과 가까운 점을 (xi,yj)라고 하자.  그러면 이 점의 바로 위에 있는 평면 위의 점 P에서 접평면을 고려하자. 이 접평면은 점 P에서는 S에 근사적으로 접근하게 된다. 따라서 이 접평면의 부분의 넓이를 △T라고 하면, 이 값을  작은 직사각형 위의 평면 S의 부분넓이의 근삿값으로 볼 수 있고, 이를 이용하면 ∑ ∑ △T 는..

영역 R이 원점을 중심으로 하는 원판 모양일 때 이중적분 ∬ f(x,y) dA을 계산해야 될 경우, R을 직교좌표계에서 표현하기는 다소 복잡하다. 이를 해결하기 위해서 직교좌표를 극좌표로 바꾸어 계산하는 것이다.  극좌표에서 한 점은 반지름 r과 각도 θ로 표현되며, 직교좌표 (x,y)를 극좌표 (r,θ)로 바꾸어 표현하려면 아래와 같은 관계식을 이용한다. r^2 = x^2 + y^2x = r cosθy = r sinθ 이를 이용해 직교좌표를 극좌표로 나타내는 예시는 아래와 같다.x^2+y^2=1이라는 원을 극좌표를 이용해서 나타내면 R = {(r,θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π} 와 같이 비교적 간단한 형태로 표현된다. 이를 이용해 극좌표에서 이중적분을 알아보자. - 극좌표에서의 이중적..

- 반복적분반복적분이란 이중적분을 두 개의 단일적분으로 표현하고 계산함으로써 이중적분은 계산하는 방법이다. f(x, y)가 R = [a,b]×[c,d] 상에서 적분 가능한 이변수함수라고 하자. x를 고정하고 f(x, y)를 y=c부터 y=d까지 y에 관해서 적분하는 것을 ∫ f(x,y) dy이라고 하자. 이 절차는 편적분이라고 명명한다. 이제 ∫ f(x,y) dy는 x의 값에 의존하는 x의 함수로 정의할 수 있으므로, ∫ f(x,y) dy를 x에 대해서 적분하면 된다. 따라서 ∫ f(x,y) dy를 [a, b]에서 x에 관해 적분을 하면 ∬ f(x,y) dydx로 표현된다. 거꾸로 y를 고정하고 x에 대해서 적분한 후, y에 대해서 적분을 수행하는 것도 괜찮다. 예제는 아래와 같다.R = [0,3] × ..

- 정적분구간 [a, b]에서 정의된 함수 f(x)를 n개의 폭이 같은 부분으로 나눈 후, 그 리만합을 정의하자. n이 ∞로 갈 때, 이 작은 부분들의 리만합의 극한을 취한 것이 함수 f(x)의 a부터 b까지의 정적분이다. 이 일련의 과정을 처리하면, 곡선 y=f(x) 아래의 넓이를 얻게 되는 것이다. 그렇다면 이중적분은 어떤 의미를 갖는가? -이중적분과 부피아래와 같은 폐직사각형에서 정의된 이변수함수 f(x,y) 를 가정하자. R = [a,b]×[c,d] ={(x,y)∈R^2 | a ≤ x ≤ b, c ≤  y ≤ d}  f(x,y) ≥ 0이라고 가정하자. 그러면 f(x,y)의 그래프는 z= f(x,y)의 곡면이다. S를 R위에 있고 f(x,y)그래프 아래에 놓인 입체라고 하면 다음과 같이 표현된다. ..

- 벡터란?벡터는 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 나타내기 위해 사용되는 개념이다. 벡터는 화살표나 유향선분을 이용해서 나타낸다. 또한 벡터는 굵은 글씨(v)또는 위에 화살표를 붙여 표시한다. 벡터를 화살표를 통해서 나타낼 때, 화살표의 길이는 벡터의 크기를, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다.  - 벡터의 기하적 표현예를 들어 어떤 물체가 점 A에서 점 B로 선분을 따라 이동한다고 하면, 해당 운동의 변위벡터 v의 시작점(Initial point)은 점 A이고, 끝점(Terminal point)은 점 B이다.아래의 그림에서 볼 수 있듯이, 벡터 u는 시작점이 점 C, 끝점이 점 D으로 벡터 v와는 다르지만, v와 평행하며 길이가 같다. 이런 경우에 벡터 u와 벡터 v는 동치(equivalent)..

- 두 점 사이의 거리삼차원 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 아래의 공식을 이용해 구할 수 있다. 두 점 A(a,b,c)와 B(d,e,f)사이의 거리 r은 아래와 같다. 이 공식의 증명은 두 점 A와 B가 대각의 위치에 있고, 각 면이 좌표평면에 평행한 직육면체를 가정한 후 피타고라스 정리를 이용하면 손쉽게 증명할 수 있다.- 구, 구면(sphere)반지름이 r이고 중심이 O(a,b,c)인 구면은 삼차원 좌표계에서 중심이 O(a,b,c)이고, 거리가 r인 모든 점 P(x,y,z)의 집합으로 정의할 수 있다. 따라서 점 P가 구면 위에 있을 조건은 '(점 P와 점C 사이의 거리) = r'이다. 이를 식으로 나타내면 아래와 같고, 이를 제곱하면 구면의 방정식을 얻을 수 있다.

- 삼차원 좌표계란?고정된 점 O(원점)을 정하고, 원점 O에서 서로 수직으로 만나는 세 개의 방향을 가진 직선을 좌표축으로 설정한다. 이 세 직선을 각각 x축, y축, z축이라고 칭한다.geogebra에서 이용할 수 있는 삼차원 좌표계 이러한 세 좌표축에 의해 세 좌표평면이 결정된다.x축과 y축을 포함하는 평면을 xy평면x축과 z축을 포함하는 평면을 xz평면y축과 z축을 포함하는 평면을 yz평면- 좌표와 사영(projection)삼차원 좌표계에서 임의의 점 A를 가정하자.yz평면에서 점 A까지의 거리를 a, xz평면에서 점 A까지의 거리를 b, xy평면에서 점 A까지의 거리를 c라고 하면 점 A의 좌표는 A(a,b,c)이다. 이 점 A에서 xy평면 위로 수직선을 내리면 좌표가 (a,b,0)인 점 B를 ..