- 극좌표에서의 이중적분

영역 R이 원점을 중심으로 하는 원판 모양일 때 이중적분 ∬ f(x,y) dA을 계산해야 될 경우, R을 직교좌표계에서 표현하기는 다소 복잡하다. 이를 해결하기 위해서 직교좌표를 극좌표로 바꾸어 계산하는 것이다.

 

극좌표에서 한 점은 반지름 r과 각도 θ로 표현되며, 직교좌표 (x,y)를 극좌표 (r,θ)로 바꾸어 표현하려면 아래와 같은 관계식을 이용한다.

 

r^2 = x^2 + y^2

x = r cosθ

y = r sinθ

 

이를 이용해 직교좌표를 극좌표로 나타내는 예시는 아래와 같다.

x^2+y^2=1이라는 원을 극좌표를 이용해서 나타내면 R = {(r,θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π} 와 같이 비교적 간단한 형태로 표현된다.

 

이를 이용해 극좌표에서 이중적분을 알아보자.

 

- 극좌표에서의 이중적분

극장방형(polar rectangle)

 

R = {(r,θ) | a ≤ r ≤ b,  α ≤ θ ≤ β} 과 같은 영역을 갖는 특수한 경우인 극장방형(polar rectangle)일 때, ∬ f(x,y) dA를 계산하기 위해 구간 [a,b]와 [α, β]를 n개의 부분 구간으로 나누어 소극장방형으로 분할한다. 

 

소극장방형(부분 극장방형)은 아래와 같이 나타내어진다.

 

R_ij = {(r,θ) | r_i-1 ≤ r ≤ r _i , θ_j-1 ≤ θ ≤ θ_j}

 

반지름이 r이고 중심각이 θ인 부채꼴의 넓이는  1/2 × θ × r^2 임을 이용하여 R_ij의 넓이를 구하면 다음과 같다.

 

R_ij = △A_ij = 1/2 × △θ × (r_i)^2 - 1/2 × △θ × (r_i-1)^2

=  1/2 × △θ × (r_i - r_i-1) (r_i + r_i-1)

= r_i* × △θ × △r 

( r_i*=1/2 (r_i+r_i-1) )

 

이를 이용하여 이중적분을 나타내면

 ∬ f(x,y) dA = ∬ f(r cosθ ,r sinθ ) r drdθ

R = {(r,θ) | a ≤ r ≤ b,  α ≤ θ ≤ β}

가 된다.