이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하기 ··· (1)

f(x)가 연속인 편도함수를 갖는 함수일 때, z = f(x,y)로 표현되는 곡면을 S라고 하자.

 

이해를 돕기 위해 f(x,y) ≥ 0이고, f의 정의역 D를 정사각형이라고 가정하자.

 

앞서 이중적분에 대해 다루었던 부분에서 사용한 방법처럼, D를 작은 직사각형으로 분할하면 그 작은 직사각형의 넓이는 △A = △x △y로 나타낼 수 있다.

 

작은 직사각형의 한 꼭짓점 중에서 가장 원점과 가까운 점을 (xi,yj)라고 하자. 

 

그러면 이 점의 바로 위에 있는 평면 위의 점 P에서 접평면을 고려하자.

 

이 접평면은 점 P에서는 S에 근사적으로 접근하게 된다.

 

따라서 이 접평면의 부분의 넓이를 △T라고 하면, 이 값을  작은 직사각형 위의 평면 S의 부분넓이의 근삿값으로 볼 수 있고, 이를 이용하면 ∑ ∑ △T 는 S의 넓이의 근삿값이 된다. 

 

영역 D의 직사각형 분할 수를 늘릴 수록, S의 넓이에 더욱 가까워지게 된다.

 

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

이를 이용해 이중적분으로 나타내면 아래와 같다.