삼중적분과 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)

삼중적분은 이중적분이 이중 리만합의 극한으로 정의되었듯이, 마찬가지로 삼중 리만합의 극한으로 정의된다.

 

평면기하학에서 극좌표계를 이용하여 특정 곡선과 영역을 더 쉽게 설명할 수 있었듯이, 삼차원 공간에서도 어떤 곡면과 입체를 보다 편리하게 설명해주는 좌표계가 있는데, 이를 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)라고 부른다.

 

이에 대해서 알아보자.

 

원기둥좌표계는 (r,θ,z)로 표현된다.

 

삼차원 공간에 한 점 P가 있다고 하자.

 

그러면 r과 θ는 xy평면에 대한 P의 사영의 극좌표이고, z는 xy평면에서 P까지의 방향이 주어진 거리이다.

 

즉 직교좌표계를 원기둥좌표로 변환시키려면 아래의 요소들을 이용하여 변환시킨다.

 

이제 원기둥좌표계에서 삼중적분을 하는 방법을 알아보자.

 

원기둥좌표계에서 dV = r dz dr dθ로 표현됨을 주의하자.

 

이를 쉽게 이해하려면, 아래와 같은 흐름으로 이해하자.

 

최종적으로 정리하자면, 원기둥좌표계에서 삼중적분의 일반형은 아래와 같이 정리된다.