공대생의 공부공간

선적분의 기본정리 예제 ··· (2)

문제)(1) F = ▽f가 되는 f를 구하고,(2) (1)의 결과를 이용해 주어진 곡선 C 위에서 선적분 ∫ F·dr을 계산하여라F(x,y) = C : (4,-2) ~ (1,1)까지 쌍곡선 x=y^2위의 호이다.풀이)(1)F(x,y) = 이고, 만약 F = ∇f이면, d(f(x,y))/dx = 2x, d(f(x,y))/dy = 4y이다.그러면 d(f(x,y))/dx = 2x은 f(x,y) = x^2 + K임을,d(f(x,y))/dy = 4y는 f(x,y) = 2y^2 + L임을 나타낸다.이 두가지를 합치면, f(x,y) = x^2 + 2y^2 + A (A는 상수) (2)C는 smooth curve이고, 시작점은 (4,−2), 종점은 (1,1)이므로,  따라서 답은 -21이다.

선적분의 기본정리 예제 ··· (1)

문제)F(x,y,z) = sy^2z + x^2 , C = {(x,y,z)| x = t^2, y=e^(t^2-1), z=t^2+t, -1 ≤ t ≤ 1},Calculate ∫ ▽f dr풀이)F(x,y,z) = sy^2z + x^2 , C = {(x,y,z)| x = t^2, y=e^(t^2-1), z=t^2+t, -1 ≤ t ≤ 1}이므로,∇f 는 F의 gradient vector field이고, 즉 ∇f 는 conservative하다. 따라서, Line C에서 ∫ ▽f dr = F(1,1,2) − F(1,1,0) = [(1)(1^2)(2) + 1^2] − (0 + 1^2) = 2. 답은 2이다.

f(x,y,z)=x2+y2+z2이고, 영역(domain) W가 중심이 z축( z-axis )이고, 밑면이 z = -1에 있으며, 밑면 반지름 3, 높이가 7인 원기둥이라고 하자. 으로 바꾸어 표현한다고 할 때,A~F, K에 들어갈 값 및 수식과 계산 결과를 구해볼 것이다.  이라는 것을 알아낼 수 있고, 이를 이용해 아래 식을 얻어낼 수 있다.  또한 z의 범위는 아래와 같다.  이를 이용하여 위의 빈칸을 채워보면,  위와 같은 형태를 얻을 수 있다. 이를 계산해보면, 계산 결과는 아래와 같다.

원기둥 좌표계를 사용해 주어진 영역(domain) W에서 f(x,y,z)의 삼중적분을 계산해볼 것이다.※ 참고 : (https://thpop.tistory.com/72 / 삼중적분과 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)) f(x,y,z)와 주어진 영역(domain)은 다음과 같다. f(x,y,z) = z, x^2+y^2 ≤ z ≤ 49 이를 원기둥좌표계로 변환하면,  임을 이용하여, 임을 이끌어낼 수 있고, 그렇게 되면 삼중적분은 다음과 같은 형태가 된다.이를 계산해보면, 답은 아래와 같다.

앞선 예제 풀이를 참고하면 쉽게 이해 가능하다.(https://thpop.tistory.com/70 / Surface area 계산하기 예제 ··· (1)) 5x + 3y + z = 4 라는 plane의 surface area를 구할 것이다.  5x + 3y + z = 4 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 원기둥 내부이다. 이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자.   plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 4 - 5x - 3y이다.  fx와 fy를 구해보면, fx = -5, fy = -3가 된다.   그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다. 넓이 A는 원기둥 밑면의 넓이이다.  원의 넓이는 π × r × r으로 구할 수 있다. r = 5이므로, 최종적인 답은 25π√..

2x + 4y + z = 2 라는 plane의 surface area를 구할 것이다. 2x + 4y + z = 2 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 타원 기둥 내부이다. 이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자. 공식은 다음과 같다.  plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 2 - 2x - 4y이다. fx와 fy를 구해보면, fx = -2, fy = -4가 된다. 그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다. 이 A는 타원기둥의 밑면의 면적으로, 구하는 공식은 abπ이다.(a,b는 각각 장반지름과 단반지름, 공식은 치환적분을 통해 유도 가능) a = 8, b = 3이므로, 최종적인 답은 24π√(21)이다.

R = [e^y,e] × [1,0] 에서 x/lnx의 이중적분을 나타내면 아래와 같다.  이 이중적분의 순서를 바꾸어 나타내어보자. x = e^y를 y에 대한 식으로 나타내어보면, y = lnx이다. 그러면 [1,0]을 충족하기 위해서 x의 범위가 [e,1]이 되고, y는 lnx가 upper bound, y = 0이 lower bound이므로, [lnx,0]이 된다. 따라서  의 형태를 갖게 되고, 이를 계산하면 아래와 같다.

∬ ( x^2 + 2y ) dA를 계산하라. 주어진 영역 D는 x ≥ 0 인 곳에서 y = x와 y = x^3으로 둘러싸인 영역이다. sol)x ≥ 0에서 x = x^3인 지점은 x = 1이다. 또한 구간 [0,1]에서 x가 x^3보다 위에 있다. 이를 이용해서 구간으로 영역을 나타내 보면 다음과 같다. D = [0,1] × [x^3, x]  이를 이용해서 이중적분을 바꾸어 계산해보자. ∬ ( x^2 + 2y ) dA = ∬_D ( x^2 + 2y ) dy dxD = [0,1] × [x^3, x]  연산해보자. ∫ ( x^2 + 2y ) dy = yx^2 + y^2 = ( x^3 + x^2 ) - ( x^5 + x^6 ) 이 결과를 [0,1] 에서 한번 더 적분한다 ∫ ( x^3 + x^2 ) - ( x..

폐직사각형 영역이 다음과 같이 설정되어있다. R = [0,4] × [−1,2] 구간 [0,4] 을 m = 2 로 나누어 부분구간을 만들고, 구간 [−1,2]을 n = 3 로 나누어 부분구간을 만들었다. 왼쪽 위 구석점을 표본점으로 한다. 이를 이용하여 ∬ ( 4 - xy^2) dA의 값을 추정하라.  리만합은 다음과 같이 나타내어진다. V ≒ ∑ ∑ f(xi, yj)△A △A = △x△y = 2 × 1 = 2 왼쪽 위 구석점이 표본점이므로 리만합을 쭉 풀어 쓰면 다음과 같다. V = ( f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) + f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) ) × △A = ( 4 + 4 + 4 + 4 + 2 - 4 ) × 2 = 28