공대생의 공부공간

야코비안 행렬(Jacobian matrix)

이중적분, 혹은 삼중적분 같은 다중적분을 수행할 때, dA, dV, dS같은 다양한 종류의 좌표계로 변환을 하는 경우가 생긴다.원하는 차원의 좌표계로 변환할 때 보정해주기 위해서 곱해주는 것이 바로 야코비안 행렬(Jacobian matrix)이다. 야코비안 행렬(Jacobian matrix)의 형태는 아래와 같다. 예시를 통해 살펴보자.앞서 극좌표에서 이중적분의 수행을 알아본 적이 있다.(https://thpop.tistory.com/33 / 극좌표에서의 이중적분) dA => dydx => r drdθ과 같이 변환하는 과정을 거쳤다. 여기서 나오는 r이 바로 야코비안 행렬의 계산 결과이다. 극좌표로 전환할 때, x = r cosθ, y = r sinθ로 변환하는데, 이는 곧 (x,y) → (r, θ)로 ..

선적분의 기본정리 예제 ··· (2)

문제)(1) F = ▽f가 되는 f를 구하고,(2) (1)의 결과를 이용해 주어진 곡선 C 위에서 선적분 ∫ F·dr을 계산하여라F(x,y) = C : (4,-2) ~ (1,1)까지 쌍곡선 x=y^2위의 호이다.풀이)(1)F(x,y) = 이고, 만약 F = ∇f이면, d(f(x,y))/dx = 2x, d(f(x,y))/dy = 4y이다.그러면 d(f(x,y))/dx = 2x은 f(x,y) = x^2 + K임을,d(f(x,y))/dy = 4y는 f(x,y) = 2y^2 + L임을 나타낸다.이 두가지를 합치면, f(x,y) = x^2 + 2y^2 + A (A는 상수) (2)C는 smooth curve이고, 시작점은 (4,−2), 종점은 (1,1)이므로,  따라서 답은 -21이다.

선적분의 기본정리 예제 ··· (1)

문제)F(x,y,z) = sy^2z + x^2 , C = {(x,y,z)| x = t^2, y=e^(t^2-1), z=t^2+t, -1 ≤ t ≤ 1},Calculate ∫ ▽f dr풀이)F(x,y,z) = sy^2z + x^2 , C = {(x,y,z)| x = t^2, y=e^(t^2-1), z=t^2+t, -1 ≤ t ≤ 1}이므로,∇f 는 F의 gradient vector field이고, 즉 ∇f 는 conservative하다. 따라서, Line C에서 ∫ ▽f dr = F(1,1,2) − F(1,1,0) = [(1)(1^2)(2) + 1^2] − (0 + 1^2) = 2. 답은 2이다.

f(x,y,z)=x2+y2+z2이고, 영역(domain) W가 중심이 z축( z-axis )이고, 밑면이 z = -1에 있으며, 밑면 반지름 3, 높이가 7인 원기둥이라고 하자. 으로 바꾸어 표현한다고 할 때,A~F, K에 들어갈 값 및 수식과 계산 결과를 구해볼 것이다.  이라는 것을 알아낼 수 있고, 이를 이용해 아래 식을 얻어낼 수 있다.  또한 z의 범위는 아래와 같다.  이를 이용하여 위의 빈칸을 채워보면,  위와 같은 형태를 얻을 수 있다. 이를 계산해보면, 계산 결과는 아래와 같다.

원기둥 좌표계를 사용해 주어진 영역(domain) W에서 f(x,y,z)의 삼중적분을 계산해볼 것이다.※ 참고 : (https://thpop.tistory.com/72 / 삼중적분과 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)) f(x,y,z)와 주어진 영역(domain)은 다음과 같다. f(x,y,z) = z, x^2+y^2 ≤ z ≤ 49 이를 원기둥좌표계로 변환하면,  임을 이용하여, 임을 이끌어낼 수 있고, 그렇게 되면 삼중적분은 다음과 같은 형태가 된다.이를 계산해보면, 답은 아래와 같다.

삼중적분은 이중적분이 이중 리만합의 극한으로 정의되었듯이, 마찬가지로 삼중 리만합의 극한으로 정의된다. 평면기하학에서 극좌표계를 이용하여 특정 곡선과 영역을 더 쉽게 설명할 수 있었듯이, 삼차원 공간에서도 어떤 곡면과 입체를 보다 편리하게 설명해주는 좌표계가 있는데, 이를 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)라고 부른다. 이에 대해서 알아보자.  원기둥좌표계는 (r,θ,z)로 표현된다. 삼차원 공간에 한 점 P가 있다고 하자. 그러면 r과 θ는 xy평면에 대한 P의 사영의 극좌표이고, z는 xy평면에서 P까지의 방향이 주어진 거리이다. 즉 직교좌표계를 원기둥좌표로 변환시키려면 아래의 요소들을 이용하여 변환시킨다. 이제 원기둥좌표계에서 삼중적분을 하는 방법을 알아보자. 원기둥..

앞선 예제 풀이를 참고하면 쉽게 이해 가능하다.(https://thpop.tistory.com/70 / Surface area 계산하기 예제 ··· (1)) 5x + 3y + z = 4 라는 plane의 surface area를 구할 것이다.  5x + 3y + z = 4 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 원기둥 내부이다. 이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자.   plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 4 - 5x - 3y이다.  fx와 fy를 구해보면, fx = -5, fy = -3가 된다.   그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다. 넓이 A는 원기둥 밑면의 넓이이다.  원의 넓이는 π × r × r으로 구할 수 있다. r = 5이므로, 최종적인 답은 25π√..

2x + 4y + z = 2 라는 plane의 surface area를 구할 것이다. 2x + 4y + z = 2 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 타원 기둥 내부이다. 이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자. 공식은 다음과 같다.  plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 2 - 2x - 4y이다. fx와 fy를 구해보면, fx = -2, fy = -4가 된다. 그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다. 이 A는 타원기둥의 밑면의 면적으로, 구하는 공식은 abπ이다.(a,b는 각각 장반지름과 단반지름, 공식은 치환적분을 통해 유도 가능) a = 8, b = 3이므로, 최종적인 답은 24π√(21)이다.

앞서 이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하는 방법을 알아보았다.(https://thpop.tistory.com/68 / 이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하기 ··· (1)) 보다 편한 계산을 위해 벡터의 개념을 이용해보자. 점 P를 시작점으로 하고, △T를 갖는 평행사변형의 두 변을 따라 놓인 벡터를 각각 a,b라고 하자. 그러면 △T = | a × b |이다. 그러면 계산은 아래와 같다. 이를 이용하여 앞서 작성했던 아래 식에 대입해보자.그러면 다음과 같은 식의 형태로 유도할 수 있다.결론적으로 위와 같은 일반형을 유도해낼 수 있다.

f(x)가 연속인 편도함수를 갖는 함수일 때, z = f(x,y)로 표현되는 곡면을 S라고 하자. 이해를 돕기 위해 f(x,y) ≥ 0이고, f의 정의역 D를 정사각형이라고 가정하자. 앞서 이중적분에 대해 다루었던 부분에서 사용한 방법처럼, D를 작은 직사각형으로 분할하면 그 작은 직사각형의 넓이는 △A = △x △y로 나타낼 수 있다. 작은 직사각형의 한 꼭짓점 중에서 가장 원점과 가까운 점을 (xi,yj)라고 하자.  그러면 이 점의 바로 위에 있는 평면 위의 점 P에서 접평면을 고려하자. 이 접평면은 점 P에서는 S에 근사적으로 접근하게 된다. 따라서 이 접평면의 부분의 넓이를 △T라고 하면, 이 값을  작은 직사각형 위의 평면 S의 부분넓이의 근삿값으로 볼 수 있고, 이를 이용하면 ∑ ∑ △T 는..