야코비안 행렬(Jacobian matrix)

이중적분, 혹은 삼중적분 같은 다중적분을 수행할 때, dA, dV, dS같은 다양한 종류의 좌표계로 변환을 하는 경우가 생긴다.

원하는 차원의 좌표계로 변환할 때 보정해주기 위해서 곱해주는 것이 바로 야코비안 행렬(Jacobian matrix)이다.

 

야코비안 행렬(Jacobian matrix)의 형태는 아래와 같다.

 

예시를 통해 살펴보자.

앞서 극좌표에서 이중적분의 수행을 알아본 적이 있다.

(https://thpop.tistory.com/33 / 극좌표에서의 이중적분)

 

dA => dydx => r drdθ과 같이 변환하는 과정을 거쳤다.

 

여기서 나오는 r이 바로 야코비안 행렬의 계산 결과이다.

 

극좌표로 전환할 때, x = r cosθ, y = r sinθ로 변환하는데, 이는 곧 (x,y) → (r, θ)로 변환하는 것이다.

 

이때 야코비안 행렬(Jacobian matrix)의 형태는 아래와 같다.

 

이는 구면좌표계, 원기둥 좌표계에서도 마찬가지이다.