- 반복적분과 푸비니 정리 (Fubini's Theorem)

- 반복적분

반복적분이란 이중적분을 두 개의 단일적분으로 표현하고 계산함으로써 이중적분은 계산하는 방법이다.

 

f(x, y)가 R = [a,b]×[c,d] 상에서 적분 가능한 이변수함수라고 하자.

 

x를 고정하고 f(x, y)를 y=c부터 y=d까지 y에 관해서 적분하는 것을 ∫ f(x,y) dy이라고 하자.

 

이 절차는 편적분이라고 명명한다.

 

이제 ∫ f(x,y) dy는 x의 값에 의존하는 x의 함수로 정의할 수 있으므로, ∫ f(x,y) dy를 x에 대해서 적분하면 된다.

 

따라서 ∫ f(x,y) dy를 [a, b]에서 x에 관해 적분을 하면 ∬ f(x,y) dydx로 표현된다.

 

거꾸로 y를 고정하고 x에 대해서 적분한 후, y에 대해서 적분을 수행하는 것도 괜찮다.

 

예제는 아래와 같다.

R = [0,3] × [2,1], f(x, y)=(x^2) ×y 일 때, R에서 ∬ f(x, y) dA를 계산하라.

 

x를 고정하고 f(x, y)를 y=1부터 y=2까지 y에 관해서 적분한다.

 

∫ f(x,y) dy를 계산하면

f(x,y)를 y에 대해서 적분

>>[(x^2) ×(y^2)/2] [1,2]에서 계산

>> 2 x^2-1/2 x^2=3/2 x^2     

>> 3/2 x^2를  [0,3]에서 적분

>> 1/2 x^3을 [0,3]에서 계산 

>> 27/2

이렇게 반복적분을 이용하여 이중적분을 연산할 수 있다.

 

- 푸비니 정리 (Fubini's Theorem)

푸비니 정리 (Fubini's Theorem)란 직사각형 R = [a, b] × [c, d] 위에서 f(x, y)가 연속이면 아래가 성립한다는 것이다.

 

∬ f(x,y) dA =∬ f(x,y) dydx =∬ f(x,y) dxdy

 

이 푸비니 정리를 이용하여 특수한 경우의 연산 방법을 이끌어낼 수 있다.

 

만약 f(x,y)가 x만으로 이루어진 함수와 y만으로 이루어진 함수의 곱으로 인수분해 될 수 있는 경우, 단순한 형으로 쓸 수 있다.

 

f(x,y) = g(x) × h(y)이고 R = [a, b] × [c, d]라고 하자. 

 

그러면 푸비니 정리에 의해 아래와 같이 표현할 수 있다. 

 

∬ f(x,y) dA  = ∫ [ ∫ g(x) h(y) dx] dy

 

이때 내부의 적분에서 y는 상수이므로 앞으로 분리할 수 있다.

 

∬ f(x,y) dA  = ∫ [ ∫ g(x) h(y) dx] dy = ∫ [ h(y) ∫ g(x) dx] dy = ∫ g(x) dx ∫ h(y) dy

 

따라서 이런 경우, f의 이중적분은 두 개의 단일적분의 곱으로 표현할 수 있다.