- 다중적분

- 정적분

구간 [a, b]에서 정의된 함수 f(x)를 n개의 폭이 같은 부분으로 나눈 후, 그 리만합을 정의하자.

 

n이 ∞로 갈 때, 이 작은 부분들의 리만합의 극한을 취한 것이 함수 f(x)의 a부터 b까지의 정적분이다.

 

이 일련의 과정을 처리하면, 곡선 y=f(x) 아래의 넓이를 얻게 되는 것이다.

 

그렇다면 이중적분은 어떤 의미를 갖는가?

 

-이중적분과 부피

아래와 같은 폐직사각형에서 정의된 이변수함수 f(x,y) 를 가정하자.

 

R = [a,b]×[c,d] ={(x,y)∈R^2 | a ≤ x ≤ b, c ≤  y ≤ d} 

 

f(x,y) ≥ 0이라고 가정하자. 그러면 f(x,y)의 그래프는 z= f(x,y)의 곡면이다. S를 R위에 있고 f(x,y)그래프 아래에 놓인 입체라고 하면 다음과 같이 표현된다.

 

S= {(x,y,z)∈R^3 | 0 ≤ z ≤ f(x,y) , (x,y) ∈ R} 

 

S의 부피를 구해보자.

 

첫 번째 단계는 직사각형 R을 부분 직사각형들로 나누는 것이다.

 

구간 [a,b]와 [c,d]를 앞선 정적분을 수행하듯이 n개의 부분구간으로 나누어 직사각형 R을 부분 직사각형들로 나눈다.

이렇게 되면 부분 직사각형의 넓이는 △A = △x△y로 표현된다.

 

n이 ∞로 갈 때, 한 표본점 (x_ij, y_ij)을 고르자. 그러면

 

이 작은 부분들 위에 놓인 성분들은 밑변이 △A 이고 높이가 f(x_ij, y_ij)인 얇은 직육면체 상자로 근사된다.

 

이 상자의 부피는 f(x_ij, y_ij)△A 이다. 이것을 모든 점에 대해서 반복하고 더하면 S의 부피에 근사된다.