공대생의 공부공간

R = [e^y,e] × [1,0] 에서 x/lnx의 이중적분을 나타내면 아래와 같다.  이 이중적분의 순서를 바꾸어 나타내어보자. x = e^y를 y에 대한 식으로 나타내어보면, y = lnx이다. 그러면 [1,0]을 충족하기 위해서 x의 범위가 [e,1]이 되고, y는 lnx가 upper bound, y = 0이 lower bound이므로, [lnx,0]이 된다. 따라서  의 형태를 갖게 되고, 이를 계산하면 아래와 같다.

∬ ( x^2 + 2y ) dA를 계산하라. 주어진 영역 D는 x ≥ 0 인 곳에서 y = x와 y = x^3으로 둘러싸인 영역이다. sol)x ≥ 0에서 x = x^3인 지점은 x = 1이다. 또한 구간 [0,1]에서 x가 x^3보다 위에 있다. 이를 이용해서 구간으로 영역을 나타내 보면 다음과 같다. D = [0,1] × [x^3, x]  이를 이용해서 이중적분을 바꾸어 계산해보자. ∬ ( x^2 + 2y ) dA = ∬_D ( x^2 + 2y ) dy dxD = [0,1] × [x^3, x]  연산해보자. ∫ ( x^2 + 2y ) dy = yx^2 + y^2 = ( x^3 + x^2 ) - ( x^5 + x^6 ) 이 결과를 [0,1] 에서 한번 더 적분한다 ∫ ( x^3 + x^2 ) - ( x..

폐직사각형 영역이 다음과 같이 설정되어있다. R = [0,4] × [−1,2] 구간 [0,4] 을 m = 2 로 나누어 부분구간을 만들고, 구간 [−1,2]을 n = 3 로 나누어 부분구간을 만들었다. 왼쪽 위 구석점을 표본점으로 한다. 이를 이용하여 ∬ ( 4 - xy^2) dA의 값을 추정하라.  리만합은 다음과 같이 나타내어진다. V ≒ ∑ ∑ f(xi, yj)△A △A = △x△y = 2 × 1 = 2 왼쪽 위 구석점이 표본점이므로 리만합을 쭉 풀어 쓰면 다음과 같다. V = ( f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) + f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) ) × △A = ( 4 + 4 + 4 + 4 + 2 - 4 ) × 2 = 28

영역 R이 원점을 중심으로 하는 원판 모양일 때 이중적분 ∬ f(x,y) dA을 계산해야 될 경우, R을 직교좌표계에서 표현하기는 다소 복잡하다. 이를 해결하기 위해서 직교좌표를 극좌표로 바꾸어 계산하는 것이다.  극좌표에서 한 점은 반지름 r과 각도 θ로 표현되며, 직교좌표 (x,y)를 극좌표 (r,θ)로 바꾸어 표현하려면 아래와 같은 관계식을 이용한다. r^2 = x^2 + y^2x = r cosθy = r sinθ 이를 이용해 직교좌표를 극좌표로 나타내는 예시는 아래와 같다.x^2+y^2=1이라는 원을 극좌표를 이용해서 나타내면 R = {(r,θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π} 와 같이 비교적 간단한 형태로 표현된다. 이를 이용해 극좌표에서 이중적분을 알아보자. - 극좌표에서의 이중적..

- 반복적분반복적분이란 이중적분을 두 개의 단일적분으로 표현하고 계산함으로써 이중적분은 계산하는 방법이다. f(x, y)가 R = [a,b]×[c,d] 상에서 적분 가능한 이변수함수라고 하자. x를 고정하고 f(x, y)를 y=c부터 y=d까지 y에 관해서 적분하는 것을 ∫ f(x,y) dy이라고 하자. 이 절차는 편적분이라고 명명한다. 이제 ∫ f(x,y) dy는 x의 값에 의존하는 x의 함수로 정의할 수 있으므로, ∫ f(x,y) dy를 x에 대해서 적분하면 된다. 따라서 ∫ f(x,y) dy를 [a, b]에서 x에 관해 적분을 하면 ∬ f(x,y) dydx로 표현된다. 거꾸로 y를 고정하고 x에 대해서 적분한 후, y에 대해서 적분을 수행하는 것도 괜찮다. 예제는 아래와 같다.R = [0,3] × ..

- 정적분구간 [a, b]에서 정의된 함수 f(x)를 n개의 폭이 같은 부분으로 나눈 후, 그 리만합을 정의하자. n이 ∞로 갈 때, 이 작은 부분들의 리만합의 극한을 취한 것이 함수 f(x)의 a부터 b까지의 정적분이다. 이 일련의 과정을 처리하면, 곡선 y=f(x) 아래의 넓이를 얻게 되는 것이다. 그렇다면 이중적분은 어떤 의미를 갖는가? -이중적분과 부피아래와 같은 폐직사각형에서 정의된 이변수함수 f(x,y) 를 가정하자. R = [a,b]×[c,d] ={(x,y)∈R^2 | a ≤ x ≤ b, c ≤  y ≤ d}  f(x,y) ≥ 0이라고 가정하자. 그러면 f(x,y)의 그래프는 z= f(x,y)의 곡면이다. S를 R위에 있고 f(x,y)그래프 아래에 놓인 입체라고 하면 다음과 같이 표현된다. ..

- 벡터란?벡터는 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 나타내기 위해 사용되는 개념이다. 벡터는 화살표나 유향선분을 이용해서 나타낸다. 또한 벡터는 굵은 글씨(v)또는 위에 화살표를 붙여 표시한다. 벡터를 화살표를 통해서 나타낼 때, 화살표의 길이는 벡터의 크기를, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다.  - 벡터의 기하적 표현예를 들어 어떤 물체가 점 A에서 점 B로 선분을 따라 이동한다고 하면, 해당 운동의 변위벡터 v의 시작점(Initial point)은 점 A이고, 끝점(Terminal point)은 점 B이다.아래의 그림에서 볼 수 있듯이, 벡터 u는 시작점이 점 C, 끝점이 점 D으로 벡터 v와는 다르지만, v와 평행하며 길이가 같다. 이런 경우에 벡터 u와 벡터 v는 동치(equivalent)..

- 두 점 사이의 거리삼차원 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 아래의 공식을 이용해 구할 수 있다. 두 점 A(a,b,c)와 B(d,e,f)사이의 거리 r은 아래와 같다. 이 공식의 증명은 두 점 A와 B가 대각의 위치에 있고, 각 면이 좌표평면에 평행한 직육면체를 가정한 후 피타고라스 정리를 이용하면 손쉽게 증명할 수 있다.- 구, 구면(sphere)반지름이 r이고 중심이 O(a,b,c)인 구면은 삼차원 좌표계에서 중심이 O(a,b,c)이고, 거리가 r인 모든 점 P(x,y,z)의 집합으로 정의할 수 있다. 따라서 점 P가 구면 위에 있을 조건은 '(점 P와 점C 사이의 거리) = r'이다. 이를 식으로 나타내면 아래와 같고, 이를 제곱하면 구면의 방정식을 얻을 수 있다.

- 삼차원 좌표계란?고정된 점 O(원점)을 정하고, 원점 O에서 서로 수직으로 만나는 세 개의 방향을 가진 직선을 좌표축으로 설정한다. 이 세 직선을 각각 x축, y축, z축이라고 칭한다.geogebra에서 이용할 수 있는 삼차원 좌표계 이러한 세 좌표축에 의해 세 좌표평면이 결정된다.x축과 y축을 포함하는 평면을 xy평면x축과 z축을 포함하는 평면을 xz평면y축과 z축을 포함하는 평면을 yz평면- 좌표와 사영(projection)삼차원 좌표계에서 임의의 점 A를 가정하자.yz평면에서 점 A까지의 거리를 a, xz평면에서 점 A까지의 거리를 b, xy평면에서 점 A까지의 거리를 c라고 하면 점 A의 좌표는 A(a,b,c)이다. 이 점 A에서 xy평면 위로 수직선을 내리면 좌표가 (a,b,0)인 점 B를 ..