공대생의 공부공간

문제)F(x,y,z) = sy^2z + x^2 , C = {(x,y,z)| x = t^2, y=e^(t^2-1), z=t^2+t, -1 ≤ t ≤ 1},Calculate ∫ ▽f dr풀이)F(x,y,z) = sy^2z + x^2 , C = {(x,y,z)| x = t^2, y=e^(t^2-1), z=t^2+t, -1 ≤ t ≤ 1}이므로,∇f 는 F의 gradient vector field이고, 즉 ∇f 는 conservative하다. 따라서, Line C에서 ∫ ▽f dr = F(1,1,2) − F(1,1,0) = [(1)(1^2)(2) + 1^2] − (0 + 1^2) = 2. 답은 2이다.

f(x)가 연속인 편도함수를 갖는 함수일 때, z = f(x,y)로 표현되는 곡면을 S라고 하자. 이해를 돕기 위해 f(x,y) ≥ 0이고, f의 정의역 D를 정사각형이라고 가정하자. 앞서 이중적분에 대해 다루었던 부분에서 사용한 방법처럼, D를 작은 직사각형으로 분할하면 그 작은 직사각형의 넓이는 △A = △x △y로 나타낼 수 있다. 작은 직사각형의 한 꼭짓점 중에서 가장 원점과 가까운 점을 (xi,yj)라고 하자.  그러면 이 점의 바로 위에 있는 평면 위의 점 P에서 접평면을 고려하자. 이 접평면은 점 P에서는 S에 근사적으로 접근하게 된다. 따라서 이 접평면의 부분의 넓이를 △T라고 하면, 이 값을  작은 직사각형 위의 평면 S의 부분넓이의 근삿값으로 볼 수 있고, 이를 이용하면 ∑ ∑ △T 는..

R = [e^y,e] × [1,0] 에서 x/lnx의 이중적분을 나타내면 아래와 같다.  이 이중적분의 순서를 바꾸어 나타내어보자. x = e^y를 y에 대한 식으로 나타내어보면, y = lnx이다. 그러면 [1,0]을 충족하기 위해서 x의 범위가 [e,1]이 되고, y는 lnx가 upper bound, y = 0이 lower bound이므로, [lnx,0]이 된다. 따라서  의 형태를 갖게 되고, 이를 계산하면 아래와 같다.

∬ ( x^2 + 2y ) dA를 계산하라. 주어진 영역 D는 x ≥ 0 인 곳에서 y = x와 y = x^3으로 둘러싸인 영역이다. sol)x ≥ 0에서 x = x^3인 지점은 x = 1이다. 또한 구간 [0,1]에서 x가 x^3보다 위에 있다. 이를 이용해서 구간으로 영역을 나타내 보면 다음과 같다. D = [0,1] × [x^3, x]  이를 이용해서 이중적분을 바꾸어 계산해보자. ∬ ( x^2 + 2y ) dA = ∬_D ( x^2 + 2y ) dy dxD = [0,1] × [x^3, x]  연산해보자. ∫ ( x^2 + 2y ) dy = yx^2 + y^2 = ( x^3 + x^2 ) - ( x^5 + x^6 ) 이 결과를 [0,1] 에서 한번 더 적분한다 ∫ ( x^3 + x^2 ) - ( x..

폐직사각형 영역이 다음과 같이 설정되어있다. R = [0,4] × [−1,2] 구간 [0,4] 을 m = 2 로 나누어 부분구간을 만들고, 구간 [−1,2]을 n = 3 로 나누어 부분구간을 만들었다. 왼쪽 위 구석점을 표본점으로 한다. 이를 이용하여 ∬ ( 4 - xy^2) dA의 값을 추정하라.  리만합은 다음과 같이 나타내어진다. V ≒ ∑ ∑ f(xi, yj)△A △A = △x△y = 2 × 1 = 2 왼쪽 위 구석점이 표본점이므로 리만합을 쭉 풀어 쓰면 다음과 같다. V = ( f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) + f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) ) × △A = ( 4 + 4 + 4 + 4 + 2 - 4 ) × 2 = 28