공대생의 공부공간

원기둥 좌표계를 사용해 주어진 영역(domain) W에서 f(x,y,z)의 삼중적분을 계산해볼 것이다.※ 참고 : (https://thpop.tistory.com/72 / 삼중적분과 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)) f(x,y,z)와 주어진 영역(domain)은 다음과 같다. f(x,y,z) = z, x^2+y^2 ≤ z ≤ 49 이를 원기둥좌표계로 변환하면,  임을 이용하여, 임을 이끌어낼 수 있고, 그렇게 되면 삼중적분은 다음과 같은 형태가 된다.이를 계산해보면, 답은 아래와 같다.

삼중적분은 이중적분이 이중 리만합의 극한으로 정의되었듯이, 마찬가지로 삼중 리만합의 극한으로 정의된다. 평면기하학에서 극좌표계를 이용하여 특정 곡선과 영역을 더 쉽게 설명할 수 있었듯이, 삼차원 공간에서도 어떤 곡면과 입체를 보다 편리하게 설명해주는 좌표계가 있는데, 이를 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)라고 부른다. 이에 대해서 알아보자.  원기둥좌표계는 (r,θ,z)로 표현된다. 삼차원 공간에 한 점 P가 있다고 하자. 그러면 r과 θ는 xy평면에 대한 P의 사영의 극좌표이고, z는 xy평면에서 P까지의 방향이 주어진 거리이다. 즉 직교좌표계를 원기둥좌표로 변환시키려면 아래의 요소들을 이용하여 변환시킨다. 이제 원기둥좌표계에서 삼중적분을 하는 방법을 알아보자. 원기둥..