공대생의 공부공간

앞선 예제 풀이를 참고하면 쉽게 이해 가능하다.(https://thpop.tistory.com/70 / Surface area 계산하기 예제 ··· (1)) 5x + 3y + z = 4 라는 plane의 surface area를 구할 것이다.  5x + 3y + z = 4 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 원기둥 내부이다. 이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자.   plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 4 - 5x - 3y이다.  fx와 fy를 구해보면, fx = -5, fy = -3가 된다.   그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다. 넓이 A는 원기둥 밑면의 넓이이다.  원의 넓이는 π × r × r으로 구할 수 있다. r = 5이므로, 최종적인 답은 25π√..

2x + 4y + z = 2 라는 plane의 surface area를 구할 것이다. 2x + 4y + z = 2 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 타원 기둥 내부이다. 이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자. 공식은 다음과 같다.  plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 2 - 2x - 4y이다. fx와 fy를 구해보면, fx = -2, fy = -4가 된다. 그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다. 이 A는 타원기둥의 밑면의 면적으로, 구하는 공식은 abπ이다.(a,b는 각각 장반지름과 단반지름, 공식은 치환적분을 통해 유도 가능) a = 8, b = 3이므로, 최종적인 답은 24π√(21)이다.

앞서 이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하는 방법을 알아보았다.(https://thpop.tistory.com/68 / 이중 적분을 이용해 곡면의 넓이(surface area) 구하기 ··· (1)) 보다 편한 계산을 위해 벡터의 개념을 이용해보자. 점 P를 시작점으로 하고, △T를 갖는 평행사변형의 두 변을 따라 놓인 벡터를 각각 a,b라고 하자. 그러면 △T = | a × b |이다. 그러면 계산은 아래와 같다. 이를 이용하여 앞서 작성했던 아래 식에 대입해보자.그러면 다음과 같은 식의 형태로 유도할 수 있다.결론적으로 위와 같은 일반형을 유도해낼 수 있다.

f(x)가 연속인 편도함수를 갖는 함수일 때, z = f(x,y)로 표현되는 곡면을 S라고 하자. 이해를 돕기 위해 f(x,y) ≥ 0이고, f의 정의역 D를 정사각형이라고 가정하자. 앞서 이중적분에 대해 다루었던 부분에서 사용한 방법처럼, D를 작은 직사각형으로 분할하면 그 작은 직사각형의 넓이는 △A = △x △y로 나타낼 수 있다. 작은 직사각형의 한 꼭짓점 중에서 가장 원점과 가까운 점을 (xi,yj)라고 하자.  그러면 이 점의 바로 위에 있는 평면 위의 점 P에서 접평면을 고려하자. 이 접평면은 점 P에서는 S에 근사적으로 접근하게 된다. 따라서 이 접평면의 부분의 넓이를 △T라고 하면, 이 값을  작은 직사각형 위의 평면 S의 부분넓이의 근삿값으로 볼 수 있고, 이를 이용하면 ∑ ∑ △T 는..

R = [e^y,e] × [1,0] 에서 x/lnx의 이중적분을 나타내면 아래와 같다.  이 이중적분의 순서를 바꾸어 나타내어보자. x = e^y를 y에 대한 식으로 나타내어보면, y = lnx이다. 그러면 [1,0]을 충족하기 위해서 x의 범위가 [e,1]이 되고, y는 lnx가 upper bound, y = 0이 lower bound이므로, [lnx,0]이 된다. 따라서  의 형태를 갖게 되고, 이를 계산하면 아래와 같다.

∬ ( x^2 + 2y ) dA를 계산하라. 주어진 영역 D는 x ≥ 0 인 곳에서 y = x와 y = x^3으로 둘러싸인 영역이다. sol)x ≥ 0에서 x = x^3인 지점은 x = 1이다. 또한 구간 [0,1]에서 x가 x^3보다 위에 있다. 이를 이용해서 구간으로 영역을 나타내 보면 다음과 같다. D = [0,1] × [x^3, x]  이를 이용해서 이중적분을 바꾸어 계산해보자. ∬ ( x^2 + 2y ) dA = ∬_D ( x^2 + 2y ) dy dxD = [0,1] × [x^3, x]  연산해보자. ∫ ( x^2 + 2y ) dy = yx^2 + y^2 = ( x^3 + x^2 ) - ( x^5 + x^6 ) 이 결과를 [0,1] 에서 한번 더 적분한다 ∫ ( x^3 + x^2 ) - ( x..