Calculating magnetic flux, induced emf, direction of induced current

문제)

위의 그림과 같이 배치되어 있다고 가정하자.

(a) Determine the magnetic flux through the loob due to the current I.

(b) Suppose the current is changing with time according to I = a + bt (a and b are constants). Determine the induced emf in the loop if b = 10.0 A/s, h = 1.00 cm, w = 10.0 cm, L = 1.00 m.

(c) What is the direction of the induced current in the rectangle?

 

풀이)

(a)  Φ = ∫ B dA 임을 이용.

 

dΦ = B dA 

 

전류 I가 흐르는 직선 도선으로부터 거리 d만큼 떨어진 곳에서의 magnetic field는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

B = μ0 I / 2πd(μ0 = 4π × 10^-7 Tm/A)

 

이를 이용한다.

 

dΦ = B dA = (μ0 × I / 2πd) × L × dd (A = Ld, dA = L dd)

 

Φ = ∫ dΦ =  ∫ (μ0 × I / 2πd ) × L × dd (from h to h+w)

 = (μ0 × I × L ) / 2π × ∫ 1 / d dd (from h to h+w)

= (μ0 ×  I ×  L ) / 2π × [ln d] (from h to h+w)

 = (μ0 × I × L ) / 2π × ln (1 + w/h)

 

(b) I = a + bt, b = 10.0 A/s, h = 1.00 cm, w = 10.0 cm, L = 1.00 m.

 

induced emf ε = -N × dΦ / dt.

 

N = 1이므로 ε = - dΦ / dt이다.

 

(a)에서 구한 Φ = (μ0 × I ×  L ) / 2π × ln (1 + w/h)를 변형할 것이다.

양변을 t에 대해 미분하되, 우항에서는 I를 t에 대해서 미분할 것이다.

 

즉 아래와 같이 나타내어진다.

dΦ / dt = (μ0 × L ) / 2π × ln (1 + w/h) × dI / dt

 

dI / dt = b = 10.0 A/s 

 

ε = - dΦ / dt = (4π × 10^-7 Tm/A) × (1.00 m) × ln( 1 + 10.0 cm / 1.00cm ) × 10.0 A/s ÷ 2π

= 2 × 10^-7 Tm^2/s × 10.0 × ln 11 = 4.80 × 10^-6 V

 

(c) induced current의 direction은 magnetic flux의 change를 방해하는 방향으로 생성되므로,반시계방향(counterclockwise)이 정답이다.