주어진 영역에서의 이중적분

∬ ( x^2 + 2y ) dA를 계산하라.

 

주어진 영역 D는 x ≥ 0 인 곳에서 y = x와 y = x^3으로 둘러싸인 영역이다.

 

sol)

x ≥ 0에서 x = x^3인 지점은 x = 1이다. 또한 구간 [0,1]에서 x가 x^3보다 위에 있다. 이를 이용해서 구간으로 영역을 나타내 보면 다음과 같다.

 

D = [0,1] × [x^3, x] 

 

이를 이용해서 이중적분을 바꾸어 계산해보자.

 

∬ ( x^2 + 2y ) dA = ∬_D ( x^2 + 2y ) dy dx

D = [0,1] × [x^3, x] 

 

연산해보자.

 

∫ ( x^2 + 2y ) dy << [x^3, x] 

= yx^2 + y^2 << [x^3, x] 

= ( x^3 + x^2 ) - ( x^5 + x^6 )

 

이 결과를 [0,1] 에서 한번 더 적분한다

 

∫ ( x^3 + x^2 ) - ( x^5 + x^6 ) dx << [0,1]

= ( (x^4)/4 + (x^3)/3 ) - ( (x^6)/6 + (x^7)/7 ) <<  [0,1]

= ( 1/4+1/3 ) - ( 1/6+1/7 ) = 7/12 - 13/42

 

7/12 - 13/42가 정답이다.