Surface area 계산하기 예제 ··· (1)

2x + 4y + z = 2 라는 plane의 surface area를 구할 것이다.

 

2x + 4y + z = 2 plane이 놓인 영역은 다음과 같은 식을 갖는 타원 기둥 내부이다.

 

이 surface area를 이중적분을 이용해 구해보자.

 

공식은 다음과 같다.

 

 

plane을 z에 대한 식으로 나타내면 z = 2 - 2x - 4y이다.

 

fx와 fy를 구해보면, fx = -2, fy = -4가 된다.

 

그러면 이중적분은 다음과 같이 표현된다.

 

이 A는 타원기둥의 밑면의 면적으로, 구하는 공식은 abπ이다.

(a,b는 각각 장반지름과 단반지름, 공식은 치환적분을 통해 유도 가능)

 

a = 8, b = 3이므로, 최종적인 답은 24π√(21)이다.